Augmented(Genişletilmiş) Dickey-Fuller tests

Dickey-Fuller testleri sadece birinci dereceden bir AR sürecini baz alır. Ancak hata teriminin beyaz gürültü özelliği gösterebilmesi için daha yüksek dereceden AR modellerine ihtiyaç olabilir. Eğer y_t’nin önemli gecikmelerinden birisi unutulursa o zaman model kurma hatasına yol açılarak hata teriminin otokoreli olmasına neden olunur.Bu eksiklik, ADF testlerinde daha yüksek dereceden AR süreçlerine yer verilerek giderilmeye çalışılmıştır.

İspat: Diyelimki y_t şöyle bir AR(2) süreci olsun:

 y_t=c+ j₁y_t-1 + j₂ y_t-2+ e_t       e_t~WN(0, s²)

 y_t=c+ j₁y_t-1 +  j₂ y_t-1 - j₂ y_t-1  +j₂ y_t-2+ e_t

 y_t=c+ (j₁+j₂ ) y_t-1-j₂(y_t-1- y_t-2)+ e_t

 y_t=c+ (j₁+j₂ ) y_t-1-j₂Dy_t-1+ e_t

 y_t- y_t-1= c+ (j₁+j₂ )y_t-1 - y_t-1-j₂Dy_t-1+ e_t

       Dy_t=c+(j₁+j₂ -1) y_t-1 - j₂Dy_t-1+ e_t

 g=j₁+j₂-1 b₁=- j₂ dersek

Dy_t=c+g y_t-1+b₁Dy_t-1+ e_t elde ederiz.

Genel olarak p.dereceden bir AR süreci için

y_t=c+ j₁y_t-1 + j₂ y_t-2+…..j₂ y_t-p +e_t       e_t~WN(0, s²)

Dy_t=c+(j₁+ j₂+ …..j_p -1)y_t-1 -( j₂+ j₃+ …..j_p) Dy_t-1 -( j₃+ j₄+ …..j_p)Dy_t-2 -….-j_pDy_t-p+1+e_t

Kritik değerler bütün modeller için Dickey Fuller tabosundan bulunabilir.

Karar kuralı : t=g/s.e(g)< tablo ÞH₀:Red :seri durağan